[증명] 내적의 증명

내적의 뜻과 공식

 

내적은 프로그래밍 등 실제 연산 할 때 필수로 쓰이고 엄청 많이 쓰이는 연산인데요.

단어 내적의 적은 쌓다, 저축 이런 뜻인데 두 벡터의 원소들을 각각 곱하고 차곡차곡 더한것이라는 뜻입니다.

아래는 두 벡터 a, b인데요.

a의 성분을 (x1, y1, z1)라 하고

b의 성분을 (x2, y2, z1 )라 하면

내적은 a·b= x1*x2 + y1*y2 + z1*z2입니다.

근데 보통 내적을 구할 때 유명한 공식이 있지요?

 

a · b = |a||b|cosθ

 

라고 배웠는데 이게 왜 a·b= x1*x2 + y1*y2 + z1*z2과 같을까요?

 

 

(몰랑.....그냥.....저렇게 외우라고 배웠어.....)

그래서 말인데요~

이번 포스팅은 저 내적을 구하는 공식이 왜 각 원소들의 곱과 같을까를 증명하도록 하겠습니다.

 

 

 

내적증명

먼저 내적을 증명하기 전에 코사인 제2법칙을 알아야되는데요.

제1코사인 법칙을 먼저 알면 제2코사인 법칙도 쉽게 알 수 있습니다.

코사인법칙들은 직접 찾아보시라능.....

시간되면 나중에 코사인 법칙에 대해서도 포스팅하겠습니다.

먼저 위와 같은 삼각형에서 제2코사인법칙에 의해

로 나타낼 수 있습니다.

 

https://playground10.tistory.com/77?category=253099 <- 제1코사인법칙

https://playground10.tistory.com/78?category=253099 <- 제2코사인법칙

그렇다면 여기서 아래과 같은 벡터 A와 B가 있을 때,

제2코사인법칙을 이용해서 나타내주면 다음과 같습니다.

 

와 똑같지요?

위 그림에 맞게 대입해준것입니다.

 

그리고 각각 선분의 크기를 구해주면 아래와 같습니다.

 // 선분 AB의 크기

 // 선분 OA의 크기

 // 선분 OB의 크기

 

 

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| 첫번째 결과식

 

아까로 다시 돌아가서

에서 를 없애기 위해 아래와 같이 해줍니다.

 

계산한 결과 (1)의 결과를 얻을 수 있습니다.

.....(1)

  

| 두번째 결과식

각 벡터의 내적(원소들끼리 곱하고 더한 값)을 계산해보겠습니다.

위에서 구한 각 선분들 크기를 대입해주고 풀어주면 아래와 같이 나옵니다.

 

.....(2)

 

아까 (1)식과 (2)식을 비교해보면

.....(1)

.....(2)

2를 양변에 나눠주면 각 원소의 곱들의 합이 우리가 그렇게 외웠던 내적공식이 되죠?

이렇게 내적 증명 끝~

이번 포스팅으로 알아본 내적증명은 코사인법칙을 알아야되는데

직접 찾아보시거나 시간이 되면 꼭 포스팅하도록 하겠습니다.